【雑記】√2が無理数であることの証明【補足】

雑記

この記事は下記の記事の補足です。

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この記事では√2が無理数であることを証明します。

前提知識

そもそも論:無理数ってなんや

まず大前提として無理数って何?ってことからスタートします。

たぶんもう忘れている人も多いと思いますが、有理数というのは分数で表せる数のことです。

数学的に書くと(嫌われそうですが)a=m/n(mとnは互いに素)という状態です。

互いに素っていうのはもう約分しつくしたよ、っていう意味です。つまり5/10とかはまだ約分できるので1/2までやったよ=mとnにはもう共通の約数(割り切れる数)がないよということです。

一方、無理数というのはこの逆です。つまり分数で表せない数のことです。

背理法

次に今回の証明で使う背理法について簡単に説明します。

背理法というのは”こう仮定する”という勝手な決め事を作って、それが論理破綻したから=仮定が間違っていたという証明方法です。

より詳細には対偶という考え方を用いるのですが、ここでは省略します。

ちなみに数学の世界では背理法は嫌われ者です。テクニックとしては優秀なんですけどね。

もう一つだけ、2乗が偶数だと元の数も偶数

最後にもう一つだけ前提知識としてxの2乗が偶数だとxも偶数という事実は当然のように扱います。

(証明するのは簡単なのですが)2乗というのは同じ数を2回かけたものなので、偶数×偶数は偶数、奇数×奇数は奇数(いくつか試してみてください)ということで2乗が偶数だと元の数も偶数です。

また、表記の問題としてmの2乗のことをm^2と書くのでご了承ください。

以上、前提知識はこれだけです!(並べてみると意外とありました…)

証明

√2が有理数と仮定します。すると√2=m/n(mとnは互いに素)

両辺を2乗すると2=m^2/n^2

よって、m^2=2n^2です。つまりmは偶数であることがわかりました。

ではm=2l(mとlは互いに素)とおいて代入してみると

√2=2l/n

再び両辺を2乗すると2=4l^2/n^2

よって、n^2=2l^2です。つまりnは先ほどと同様の理由で偶数であることがわかりました。

さて、ここでこの仮定ではmとnはどちらも偶数であることが示されたわけですが、これはmとnが互いに素であることに反します。(mもnも2を約数に持つため)

よって、「√2が有理数である」という仮定が間違っていた、つまり√2は無理数であることが証明されました。

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