【雑記】論理的思考能力の神髄!仮定だらけの美しい証明【数学】

雑記
うみほたる
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今日は数学に関する記事です(唐突)

うみほたる
うみほたる

というのも昨日この動画を見て、数学ってやっぱ面白いよなって思ったのです。

【天才数学者】人生に必要?算数で十分?文系でもマスト?「理論的に考える癖をつけるため」天才数学者×ひろゆきが議論!【メトロノーム】|#アベプラ《アベマで放送中》

早稲田大学の政治経済学部が今年から数学IAを必須科目にしたことでネットで話題になっているそうです。批判的な声とか受検者数が減ったということもあるようですが、正直、数学好きの僕からすると「IAくらいで諦めないでくれ」と思ってしまいます。

数学というのは計算能力を競うものではなく、論理的思考力を競うものだということを示す非常によい例として、面白い証明問題を紹介します。

興味もっていただければ幸いです!!(無理だろうなぁ)

この記事ではこんなことが得られます。

  • 数学の面白さ!!のほんの一部

「命題:無理数の無理数乗は無理数である」の真偽を証明せよ

今回紹介するのはこの命題の真偽の証明です。真偽というのはこの命題があっているか間違っているか示しなさいということです。

ちなみに無理数って何?という人のために別の記事を書きました。√2が無理数であることもセットで説明していますので、無理数がわからない人はこちらもちら見してみてください。

証明

文章で√2の√2乗とかを書くのが鬼めんどくさかったので、画像にしてきました。

なんのこっちゃという感じでしょうか。解説します。

解説

この証明では(i)√2の√2乗を有理数とした場合、(ii)√2の√2乗を無理数とした場合に分けて検証し、無理数の無理数乗は必ずしも無理数にはならないことを証明しました。

この問題の非常に面白い点は√2の√2乗が有理数なのか無理数なのか、証明を終えた今でもさっぱりわからんということです。

つまり途中の仮定の真偽など関係なく、物事の真偽は証明できてしまうということですね。

僕はこの点に非常に論理的思考力の神髄を見た気がしています。

また、直感的なイメージと事実の相違もこの問題の面白い部分ですね。つまり、無理数の無理数乗っていかにも有理数にはならなそうじゃないですか。でも実際は違うという、そのギャップが「数学って面白いなあ」と思います。

まとめ

以上、今回は元数学オタクの僕が一番好きな証明問題を解説するというとち狂ったことをしてみました。

完全に自己満ですが、0.1人でも「数学って面白い」と思ってもらえたら嬉しいです。

うみほたる
うみほたる

最後までお読みいただきありがとうございました!何かわからないことがあればコメント欄で教えてください!

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